Cho hình hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D', $ biết đáy $ ABCD $ là hình vuông. Tính góc giữa $ A'C $ và $ BD. $

Chọn A Đặt $ \overset\rightarrow { A'B' }=\overset\rightarrow { a },{ \rm{ } }\overset\rightarrow { A'D' }=\overset\rightarrow { b },{ \rm{ } }\overset\rightarrow { A'A }=\overset\rightarrow { c },{ \rm{ } }AB=x. $ $ \overset\rightarrow { A'C }=\overset\rightarrow { A'B' }+\overset\rightarrow { A'D' }+\overset\rightarrow { A'A }=\overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b }+\overset\rightarrow { c } $. $ \overset\rightarrow { BD }=\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { b }-\overset\rightarrow { a } $. Ta có $ \overset\rightarrow { A'C }.\overset\rightarrow { BD }=\left ( { \overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b }+\overset\rightarrow { c } } \right ).\left ( { \overset\rightarrow { b }-\overset\rightarrow { a } } \right )=\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }-\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b }.\overset\rightarrow { b }-\overset\rightarrow { b }.\overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { c }.\overset\rightarrow { b }-\overset\rightarrow { c }.\overset\rightarrow { a }=x ^ { 2 } -x ^ { 2 } =0 $ (vì $ \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b },\overset\rightarrow { c } $ đôi một vuông góc và $ \left | { \overset\rightarrow { a } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |=x $ do đáy $ ABCD $ là hình vuông). Do đó $ \overset\rightarrow { A'C }⊥\overset\rightarrow { BD } $, suy ra góc giữa $ A'C $ và $ BD $ bằng $ 90^\circ . $