Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ a $, tam giác $ A'BC $ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ \left ( { ABC } \right ) $. $ M $ là trung điểm cạnh $ CC' $. Tính cosin góc $ \alpha $ giữa hai vecto $ \overset\rightarrow { AA' } $ và $ \overset\rightarrow { BM } $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

B. $ \cos\alpha =\frac { \sqrt { 33 } } { 11 } $. Lời giải: Chọn B. Ta có: $ AH=A'H=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 } $ và $ AH⊥BC,A'H⊥BC ⇒BC⊥\left ( { AA'H } \right ) ⇒BC⊥AA' $ hay $ BC⊥BB' $. Do đó: $ BCC'B' $ là hình chữ nhật. Khi đó: $ CC'=AA'=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 }.\sqrt { 2 }=\frac { a\sqrt { 6 } } { 2 } ⇒BM=\sqrt { a ^ { 2 } +\frac { a ^ { 2 } .6 } { 16 } }=a\frac { \sqrt { 22 } } { 4 } $. Xét: $ \overset\rightarrow { AA' }.\overset\rightarrow { BM }=\overset\rightarrow { AA' }.\left ( { \overset\rightarrow { BC }+\overset\rightarrow { CM } } \right ) =0+AA'.CM =\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } $. Suy ra $ \cos\left ( { AA',BM } \right )=\frac { \left | { \frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } } \right | } { \frac { a\sqrt { 6 } } { 2 }.\frac { a\sqrt { 22 } } { 4 } } =\frac { \sqrt { 33 } } { 11 } $.

Cùng dạng: Cộng, trừ, nhân vectơ với số thực trong không gian