(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2025) Cho hàm số $ y=f(x) $, hàm số $ y=f'(x) $ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết $ f(-1)=-\frac { 43 } { 4 } $, diện tích hình phẳng $ (H_{ 1 } ),\ (H_{ 2 } ) $lần lượt bằng $ 20 $và $ 128 $.

a) Sai. Dựa vào đồ thị ta có: $ S_{ (H_{ 1 } ) } =20 $ nên $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f'(x)dx }=20 $, $ S_{ (H_{ 2 } ) } =128 $ nên $ \int _{ 1 }^{ 5 } { f'(x)dx }=-128 $. Vậy $ \int _{ -1 }^{ 5 } { f'(x)dx }=\int _{ -1 }^{ 1 } { f'(x)dx }+\int _{ 1 }^{ 5 } { f'(x)dx }=20-128=-108 $. b) Đúng. $ \int _{ -1 }^{ 5 } { f'(x)dx }=f(x)\left | { _{ -1 } ^{ 5 }=f(5)-f(-1) } \right .=-108⇒f(5)=-108+f(-1)=-108+\left ( { -\frac { 43 } { 3 } } \right )=-\frac { 475 } { 4 }. $ c) Đúng. Xét $ f'(x)=a(x+1)(x-1)(x-5) $ $ S_{ (H_{ 1 } ) } =\int _{ -1 }^{ 1 } { f'(x)dx }=\int _{ -1 }^{ 1 } { a(x+1)(x-1)(x-5)dx=a }\int _{ -1 }^{ 1 } { (x+1)(x-1)(x-5)dx=a.\frac { 20 } { 3 }=20⇒a=3. } $ Suy ra $ f'(x)=3(x+1)(x-1)(x-5)=3x ^ { 3 } -15x ^ { 2 } -3x+15 $. $ ⇒f(x)=\int { f'(x)dx=\int { (3x ^ { 3 } -15x ^ { 2 } -3x+15)dx=\frac { 3 } { 4 }x ^ { 4 } -5x ^ { 3 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +15x } }+C $. Mà $ f(-1)=-\frac { 43 } { 4 }⇒C=0⇒f\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 4 }x ^ { 4 } -5x ^ { 3 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +15x $. Vậy $ f(2)=-4 $. d) Đúng. Ta có: $ S=\int _{ 0 }^{ 5 } { \left | { \left ( { \frac { 3 } { 4 }x ^ { 4 } -5x ^ { 3 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +15x } \right )-\left ( { -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +15x } \right ) } \right |dx }=\int _{ 0 }^{ 5 } { \left | { \frac { 3 } { 4 }x ^ { 4 } -5x ^ { 3 } } \right |dx=\frac { 625 } { 2 } }. $