Trả lời ngắn · Câu 7
Một công ty thuê thợ vẽ logo công ty như hình vẽ lên một bức tường lớn. Logo có dạng là một bông hoa có 6 cánh hoa giống nhau, sắp xếp cách đều như hình vẽ. Để chính xác hóa kích thước và hình dạng như hình vẽ, mỗi cánh hoa được thiết kế như sau: Trong mặt phẳng $Oxy$ (một đơn vị ứng với 1 mét trên thực tế), một cánh hoa được xem là một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba $y = \frac{(x - 3)^{3}}{27} + 1$ và một đường parabol $(P): y = ax^{2} + bx + c \, (a \neq 0)$. $(C)$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm $O(0;0)$, $M(6;2)$ và $(P)$ đi qua điểm $N(3;0)$. Biết rằng chi phí vẽ logo nói trên được tính dựa trên mỗi mét vuông cánh hoa được vẽ, mỗi mét vuông được báo giá là 210 nghìn đồng. Hãy tính chi phí vẽ logo đó (đơn vị: nghìn đồng, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án chấp nhận
- 5040
Lời giải
Lời giải
$(P)$ đi qua điểm $O(0;0)$ nên $c = 0$.
$(P)$ đi qua 2 điểm $M(6;2)$ và $N(3;0)$ nên ta có hệ phương trình:
$$
\begin{cases} 36a + 6b = 2 \\ 9a + 3b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{9} \\ b = -\frac{1}{3} \end{cases}
$$
Suy ra $(P): y = \frac{1}{9}x^{2} - \frac{1}{3}x$.
Khi đó, diện tích một cánh hoa là:
$$
S = \int_{0}^{6} \Big|\Big(\frac{(x - 3)^{3}}{27} + 1\Big) - \Big(\frac{1}{9}x^{2} - \frac{1}{3}x\Big)\Big| dx = 4 \text{ (m}^{2}\text{)}
$$
Vì bông hoa có 6 cánh nên tổng diện tích là $6 \cdot 4 = 24 \text{ (m}^{2}\text{)}$.
Chi phí vẽ logo là $24 \cdot 210 = 5040$ (nghìn đồng).