Cho hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ có cạnh bằng 1. Gọi $ A_{ k+1 } $, $ B_{ k+1 } $, $ C_{ k+1 } $, $ D_{ k+1 } $ thứ tự là trung điểm các cạnh $ A_{ k } B_{ k } $, $ B_{ k } C_{ k } $, $ C_{ k } D_{ k } $, $ D_{ k } A_{ k } $ (với $ k=1,\,\,2,\,\,...). $ Gọi chu vi của hình vuông $ A_{ 2024 } B_{ 2024 } C_{ 2024 } D_{ 2024 } $ là $ a $. Hãy tính $ 2 ^ { 1010 } a $ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Mỗi cạnh của hình vuông sau bằng đường chéo của hình vuông trước chia đôi, nên dãy độ dài cạnh là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì vậy cạnh của hình vuông thứ $2024$ là $$u_{2024}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2023}=2^{-\frac{2023}{2}}.$$ Chu vi của hình vuông đó là $$a=4u_{2024}=2^2\cdot 2^{-\frac{2023}{2}}=2^{-\frac{2019}{2}}.$$ Do đó $$2^{1010}a=2^{1010-\frac{2019}{2}}=2^{\frac12}=\sqrt{2}\approx 1{,}41.$$ Vậy kết quả cần tìm (làm tròn đến hàng phần trăm) là $1{,}41$.