Bài tự luận · Bài 56
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 56
(THPT Sóc Sơn - Hà Nội 2025) Một câu hỏi trắc nghiệm dạng đúng - sai có 4 ý hỏi. Nếu trả lời đúng 1 ý thì được 10 điểm; nếu trả lời đúng 2 ý thì được 25 điểm; nếu trả lời đúng 3 ý thì được 50 điểm; nếu trả lời đúng cả 4 ý thì được 100 điểm. Bình trả lời tất cả các ý bằng cách chọn ngẫu nhiên đáp án đúng hoặc sai. Hỏi Bình đạt được trung bình bao nhiêu điểm? (làm tròn đến hàng phần chục)
Xem lời giải
Lời giải
Đáp án: 30,6.
Gọi $ A: $ “Học sinh trả lời đúng”, vì có 2 phương án Đ-S nên $ p=P(A)=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow P( \bar A)=\frac { 1 } { 2 } $
Gọi $ X $ là số ý trả lời đúng trong 4 ý. Ta có:$ P(X=k)=C_{ 4 } ^{ k }\left ( { 0,5 } \right ) ^ { k } .\left ( { 0,5 } \right ) ^ { 4-k } =C_{ 4 } ^{ k }\left ( { 0,5 } \right ) ^ { 4 } $
Trong đó $ k=\left \{ \begin{array}{l} 0,1,2,3,4 \end{array} \right \} $
$ P(X=0)=\frac { 1 } { 16 };\ P(X=1)=\frac { 4 } { 16 };\ P(X=2)=\frac { 6 } { 16 };\ P(X=3)=\frac { 4 } { 16 };\ P(X=4)=\frac { 1 } { 16 }. $
Gọi $ Y $ là số điểm Bình đạt được. Ta có bảng phân bố xác suất của $ Y $:
$ Y $ $ 0 $ $ 10 $ $ 25 $ $ 50 $ $ 100 $
$ P $ $ \frac { 1 } { 16 } $ $ \frac { 4 } { 16 } $ $ \frac { 6 } { 16 } $ $ \frac { 4 } { 16 } $ $ \frac { 1 } { 16 } $
Khi đó, điểm trung bình đạt được là:
$ E(Y)=0.\frac { 1 } { 16 }+10.\frac { 4 } { 16 }+25.\frac { 6 } { 16 }+50.\frac { 4 } { 16 }+100.\frac { 1 } { 16 }=\frac { 245 } { 8 }\approx 30,6. $
Gọi $ A: $ “Học sinh trả lời đúng”, vì có 2 phương án Đ-S nên $ p=P(A)=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow P( \bar A)=\frac { 1 } { 2 } $
Gọi $ X $ là số ý trả lời đúng trong 4 ý. Ta có:$ P(X=k)=C_{ 4 } ^{ k }\left ( { 0,5 } \right ) ^ { k } .\left ( { 0,5 } \right ) ^ { 4-k } =C_{ 4 } ^{ k }\left ( { 0,5 } \right ) ^ { 4 } $
Trong đó $ k=\left \{ \begin{array}{l} 0,1,2,3,4 \end{array} \right \} $
$ P(X=0)=\frac { 1 } { 16 };\ P(X=1)=\frac { 4 } { 16 };\ P(X=2)=\frac { 6 } { 16 };\ P(X=3)=\frac { 4 } { 16 };\ P(X=4)=\frac { 1 } { 16 }. $
Gọi $ Y $ là số điểm Bình đạt được. Ta có bảng phân bố xác suất của $ Y $:
$ Y $ $ 0 $ $ 10 $ $ 25 $ $ 50 $ $ 100 $
$ P $ $ \frac { 1 } { 16 } $ $ \frac { 4 } { 16 } $ $ \frac { 6 } { 16 } $ $ \frac { 4 } { 16 } $ $ \frac { 1 } { 16 } $
Khi đó, điểm trung bình đạt được là:
$ E(Y)=0.\frac { 1 } { 16 }+10.\frac { 4 } { 16 }+25.\frac { 6 } { 16 }+50.\frac { 4 } { 16 }+100.\frac { 1 } { 16 }=\frac { 245 } { 8 }\approx 30,6. $