Biết rằng $ a,\,b $ là các số thực thỏa mãn $ a+b=4 $ và $ \lim\limits_{ x→1 } \left ( { \frac { a } { 1-x }-\frac { b } { 1-x ^ { 3 } } } \right ) $ hữu hạn. Tính $ a-b $

Ta có $ \lim\limits_{ x→1 } \,\,\,\left ( { \frac { a } { 1-x }-\frac { b } { 1-x ^ { 3 } } } \right )=\lim\limits_{ x→1 } \frac { a+ax+ax ^ { 2 } -b } { 1-x ^ { 3 } }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { a+ax+ax ^ { 2 } -b } { \left ( { 1-x } \right )\left ( { 1+x+x ^ { 2 } } \right ) }. $ Khi đó $ \lim\limits_{ x→1 } \,\,\,\left ( { \frac { a } { 1-x }-\frac { b } { 1-x ^ { 3 } } } \right ) $ hữu hạn $ ⇔ $ đa thức $ a+ax+ax ^ { 2 } -b $ có nghiệm $ x=1 ⇔1+a\cdot 1+a\cdot 1 ^ { 2 } -b=0⇔2a-b=-1. $ Vậy ta có $ \left \{ \begin{array}{l} a+b=4 \\ 2a-b=-1 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=3 \end{array} \right.⇒a-b=-2 $