Cho hai số thực $ a,b $ thỏa mãn $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-1 }=3 $. Tính giá trị biểu thức $ S=a+\frac { b } { 4 } $.

Vì $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-1 }=3 $ là 1 số hữu hạn và $ \lim\limits_{ x→1 } \left ( { x-1 } \right )=0 $ nên $ \lim\limits_{ x→1 } \left ( { ax ^ { 2 } +bx-2 } \right )=0 $ hay $ a+b-2=0⇔b=2-a $. Khi đó: $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { ax ^ { 2 } +\left ( { 2-a } \right )x-2 } { x-1 } \\ =\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-1 } \right )\left ( { ax+2 } \right ) } { x-1 } \\ =\lim\limits_{ x→1 } \left ( { ax+2 } \right )\, =\,a+2=3⇒a=1 $ Suy ra $ b=1 $. Vậy $ S=1+\frac { 1 } { 4 }=1,25 $.