Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -3x+2 $.

a) $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { f\left ( { x } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x ^ { 2 } -3{ \rm{ x } }+2 } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \left ( { x-2 } \right )=-1 $. Vậy ý a đúng. b) $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } -1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right ) } { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1 } \right ) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x-2 } { x+1 }=-\frac { 1 } { 2 } $. Vậy ý b sai. c) $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right ) } { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x-2 } { x ^ { 2 } +1 }=-\frac { 1 } { 2 } < 0 $. Vậy ý c sai. d) Để $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { f\left ( { x } \right ) } { ax+b }=2 $ là giới hạn hữu hạn, ta cần $ f(1)=0 $ và $ a+b=0 $ (để mẫu số cũng triệt tiêu tại $ x=1 $), tức là $ b=-a $, khi đó $ ax+b=a\left ( { x-1 } \right ) $. Suy ra $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { f\left ( { x } \right ) } { ax+b }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right ) } { a\left ( { x-1 } \right ) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x-2 } { a }=-\frac { 1 } { a }=2⇔a=-\frac { 1 } { 2 } $, suy ra $ b=\frac { 1 } { 2 } $. Vậy $ a+3b=-\frac { 1 } { 2 }+3⋅\frac { 1 } { 2 }=1 $. Vậy ý d đúng.