Cho hàm số $ f(x)=a(x-1) ^ { 2 } +1 $ với $ a>0 $. Biết $ \lim\limits_{ x→∞ } (\sqrt[] { f(-x) }-\sqrt[] { f(x) })=6 $ Hỏi: giá trị của $ a $ là bao nhiêu?

Ta có $ \lim\limits_{ x→∞ } (\sqrt[] { f(-x) }-\sqrt[] { f(x) }) $ $ =\lim\limits_{ x→∞ } \left ( { \sqrt[] { a(x+1) ^ { 2 } +1 }-\sqrt[] { a(x-1) ^ { 2 } +1 } } \right ) \\ =\lim\limits_{ x→∞ } \frac { a(x+1) ^ { 2 } -a(x-1) ^ { 2 } } { \sqrt[] { a(x+1) ^ { 2 } +1 }+\sqrt[] { a(x-1) ^ { 2 } +1 } }=\lim\limits_{ x→∞ } \frac { 4ax } { \sqrt[] { a(x+1) ^ { 2 } +1 }+\sqrt[] { a(x-1) ^ { 2 } +1 } } \\ =\lim\limits_{ x→∞ } \frac { 4a } { \sqrt[] { a+\frac { 2a } { x }+\frac { a+1 } { x ^ { 2 } } }+\sqrt[] { a-\frac { 2a } { x }+\frac { a+1 } { x ^ { 2 } } } }=\frac { 4a } { 2\sqrt[] { a } }=2\sqrt[] { a } $ Từ đó suy ra $ 2\sqrt[] { a }=6⇒a=9 $