Trong chương trình giao lưu gồm có $ 15 $ người ngồi vào $ 15 $ ghế theo một hàng ngang. Giả sử người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên $ 3 $ người trong $ 15 $ người để giao lưu với khán giả. Có bao nhiêu cách chọn để trong $ 3 $ người được chọn đó không có $ 2 $ người ngồi kề nhau?

Số cách chọn 3 người tùy ý trong 15 người $ C_{ 15 } ^{ 3 }=455 $. Ta tìm số cách chọn để trong 3 người đươc chọn có ít nhất 2 người ngồi kề nhau. TH1: 3 người ngồi kề nhau có 13 cách chọn. TH2: có 2 người ngồi cạnh nhau - Hai người ngồi cạnh nhau ngồi đầu hàng có 2 cách chọn, với mỗi cách chọn như vậy có 12 cách chọn người còn lại vậy có: $ 2.12=24 $ cách. - Hai người ngồi cạnh nhau không ngồi đầu hàng có 12 cách chọn, với mỗi cách chọn như vậy có 11 cách chọn người còn lại vậy có: $ 11.12=132 $ cách. Suy ra số cách chọn để trong 3 người đươc chọn có ít nhất 2 người ngồi kề nhau $ 132+24+13=169 $ cách. Vậy số cách chọn để trong $ 3 $ người được chọn đó không có $ 2 $ người ngồi kề nhau $ 455-169=286 $ cách.