Cho $T = (mx^2 - 1)^4 + (x - n)^5$, với tham số $m, n \in \mathbb{N}^*$ và $m < 2025$. Có bao nhiêu cặp số $m, n$ để khai triển biểu thức $T$ không có số hạng chứa $x^4$?

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có: $\left\{\begin{array}{l} (mx^2 - 1)^4 = m^4 x^8 - 4m^3 x^6 + 6m^2 x^4 - 4mx^2 + 1 \\\\ (x - n)^5 = x^5 - 5nx^4 + 10n^2 x^3 - 10n^3 x^2 + 5n^4 x - n^5 \end{array}\right.$ Suy ra số hạng chứa $x^4$ trong khai triển $T = (mx^2 - 1)^4 + (x - n)^5$ là $(6m^2 - 5n)x^4$. Khai triển $T$ không có số hạng chứa $x^4$ khi và chỉ khi hệ số của nó bằng $0$, tức là: $6m^2 - 5n = 0 \Leftrightarrow 6m^2 = 5n$. Vì $5n \vdots 5$ nên $6m^2 \vdots 5$, mà $\text{ƯCLN}(6, 5) = 1$ nên $m^2 \vdots 5 \Rightarrow m \vdots 5$. Mặt khác, vì $m, n \in \mathbb{N}^*$ và $m < 2025$ nên $m \in \{5; 10; 15; 20; \dots; 2020\}$. Vậy số các cặp số $m, n$ thỏa mãn bài toán là: $\frac{2020 - 5}{5} + 1 = 404$.