Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$. Gọi mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt $SB, SD, SC$ tại $H, K, I$. Tính $\tan \Big( \widehat{SKI} + \widehat{SHI} \Big)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải Ta có: $$ \begin{cases} BC \perp SA \\ BC \perp AB \end{cases} \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH $$ Gọi $G = SO \cap HK$, $I = AG \cap SC$. Ta có: $$ \begin{cases} AH \perp BC \\ AH \perp SB \end{cases} \Rightarrow AH \perp (SBC) \Rightarrow AH \perp SC $$ Hoàn toàn tương tự: $AK \perp (SCD) \Rightarrow AK \perp SC$. Từ đó suy ra: $$ \begin{cases} SC \perp AH \\ SC \perp AK \end{cases} \Rightarrow SC \perp (AHK) \Rightarrow SI \perp (AHK) $$ Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có: $SA = a$, $AC = a\sqrt{2}$, $AI \perp SC$: $$ \frac{1}{AI^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{2a^{2}} = \frac{3}{2a^{2}} $$ $$ \Rightarrow AI = \frac{a\sqrt{6}}{3} $$ $$ SI = \sqrt{SA^{2} - AI^{2}} = \sqrt{a^{2} - \Big( \frac{a\sqrt{6}}{3} \Big)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} $$ Xét $\Delta SAD$: $SD = \sqrt{SA^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{2}$. Do $\Delta SAD$ vuông cân tại $A \Rightarrow KS = KD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Xét $\Delta SIK$ vuông tại $I$ (do $SI \perp (AHK)$) có $SK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SI = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $$ IK = \sqrt{SK^{2} - SI^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6} $$ Do $\Delta SAB$ vuông cân tại $A$ ($SA = AB = a$) và $AH \perp SB$ nên $H$ là trung điểm $SB$, suy ra $SH = \frac{SB}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Xét $\Delta SIH$ vuông tại $I$ có $SH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SI = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $$ IH = \sqrt{SH^{2} - SI^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{6} $$ Suy ra $\tan\widehat{SKI} = \dfrac{SI}{IK} = \sqrt{2}$ và $\tan\widehat{SHI} = \dfrac{SI}{IH} = \sqrt{2}$. $$ \tan\Big(\widehat{SKI} + \widehat{SHI}\Big) = \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} = -2\sqrt{2} \approx -2,8 $$