(Sở Bình Phước 2025) Có ba đồng xu được đựng trong một hộp kín. Đồng xu thứ nhất là một đồng xu cân đối với tỷ lệ mặt ngửa và mặt sấp bằng nhau. Đồng xu thứ hai là một đồng xu bị lỗi có khả năng mặt ngửa xuất hiện là 70%. Đồng xu thứ ba là một đồng xu hai mặt ngửa (khi tung luôn ra mặt ngửa). Bạn An lấy ngẫu nhiên một đồng xu từ hộp và tung nó hai lần. Kết quả của hai lần tung cho thấy xuất hiện một lần mặt sấp và một lần mặt ngửa. Tính xác suất để đồng xu bạn đã chọn là đồng xu thứ hai (đồng xu bị lỗi) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $ A $ là biến cố chọn đồng xu thứ $ n\,\,\left ( { n=1;\,2;\,3 } \right ) $ $ B $ là biến cố tung hai lần thì thấy xuất hiện một lần mặt sấp và một lần mặt ngửa Vì chọn ngẫu nhiên nên $ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=P\left ( { A_{ 2 } } \right )=P\left ( { A_{ 3 } } \right )=\frac { 1 } { 3 } $ Lấy ngẫu nhiên một đồng xu tung hai lần được một mặt sấp và một mặt ngửa thì ta có ba trường hợp như sau: Trường hợp 1: Chọn được đồng xu thứ nhất là S-N và N-S nên $ P\left ( { B\|A_{ 1 } } \right )=2.\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 } $ Trường hợp 2: Chọn được đồng xu thứ hai là S-N và N-S nên ta có: $ P\left ( { B\|A_{ 2 } } \right )=0,7.0,3+0,3.0,7=0,42 $ Trường hợp 3: Chọn được đồng xu thứ ba là N-N nên $ P\left ( { B\|A_{ 3 } } \right )=0 $ Áp dụng công thức Bayes ta tính được xác suất chọn được đồng xu thứ hai là: $ P\left ( { A_{ 2 } \|B } \right )=\frac { P\left ( { B\|A_{ 2 } } \right ).P\left ( { A_{ 2 } } \right ) } { P\left ( { A_{ 1 } } \right ).P\left ( { B\|A_{ 1 } } \right )+P\left ( { A_{ 2 } } \right ).P\left ( { B\|A_{ 2 } } \right )+P\left ( { A_{ 3 } } \right ).P\left ( { B\|A_{ 3 } } \right ) }=\frac { 0,42.\frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }+0,42.\frac { 1 } { 3 }+0.\frac { 1 } { 3 } }≈0,46 $ Vậy xác suất chọn được đồng xu thứ hai là $ 0,46 $.