(THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Một người điều khiển xe Taxi xuất phát từ trạm thu phí muốn nhập làn vào đường cao tốc, chuyển động tăng tốc với tốc độ $ v\left ( { t } \right )=-\frac { 1 } { 180 }t ^ { 2 } +\frac { 116 } { 135 }t $ (m/s) (trong đó, $ t $ là thời gian tính bằng giây kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí). Từ trạm thu phí đó, một xe Cứu thương cũng xuất phát, chuyển động thẳng cùng hướng với xe Taxi nhưng chậm hơn $ 1 $ giây so với xe Taxi và có gia tốc bằng $ a $ $ \left ( { m/{ \rm{ s } } ^ { { \rm{ 2 } } } } \right ) $($ a $ là hằng số). Sau khi xe Cứu thương xuất phát được $ 17 $ giây thì đuổi kịp xe Taxi. Biết rằng, xe Taxi nhập làn cao tốc sau $ 20 $ giây và cả hai xe duy trì sự tăng tốc trong $ 28 $ giây kể từ khi Taxi rời trạm thu phí.

Gọi $ t $ là thời gian tính từ lúc xe Taxi bắt đầu chuyển động ($ t\geq 0 $, đơn vị giây). Vận tốc của xe Taxi: $ v_{ T } \left ( { t } \right )=-\frac { 1 } { 180 }t ^ { 2 } +\frac { 116 } { 135 }t $ (m/s). Xe Cứu thương xuất phát sau 1 giây ($ t=1 $) với gia tốc $ a $ và vận tốc ban đầu $ 0 $. Gọi $ t'=t-1 $ là thời gian chuyển động của xe Cứu thương ($ t'\geq 0 $). Vận tốc xe Cứu thương: $ v_{ A } \left ( { t' } \right )=at' $. Quãng đường xe Cứu thương: $ S_{ A } \left ( { t' } \right )=\frac { 1 } { 2 }a\left ( { t' } \right ) ^ { 2 } $. a) SAI. Quãng đường xe Taxi đi được đến khi nhập làn ($ t=20 { \rm{ s } } $): $ S_{ T } \left ( { 20 } \right )=\int _{ 0 }^{ 20 } { v_{ T } \left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 20 } { \left ( { -\frac { 1 } { 180 }t ^ { 2 } +\frac { 116 } { 135 }t } \right ){ \rm{ d } }t }\, $ $ =\left. { \left ( { -\frac { t ^ { 3 } } { 540 }+\frac { 58 } { 135 }t ^ { 2 } } \right ) } \right|_{ 0 }^{ 20 }=-\frac { 20 ^ { 3 } } { 540 }+\frac { 58 } { 135 }\cdot 20 ^ { 2 } =\frac { 4240 } { 27 }\approx 157m $. b) SAI Xe Cứu thương xuất phát được $ 17 $ giây thì đuổi kịp Taxi. Tức là tại $ t'=17{ \rm{ s } } $ (ứng với $ t=18{ \rm{ s } } $ của Taxi). Tại $ t=18 $, quãng đường hai xe đi được bằng nhau. $ S_{ T } \left ( { 18 } \right )=\int _{ 0 }^{ 18 } { v_{ T } \left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 18 } { \left ( { -\frac { 1 } { 180 }t ^ { 2 } +\frac { 116 } { 135 }t } \right ){ \rm{ d } }t }=\left. { \left ( { -\frac { t ^ { 3 } } { 540 }+\frac { 58 } { 135 }t ^ { 2 } } \right ) } \right|_{ 0 }^{ 18 }=-\frac { 18 ^ { 3 } } { 540 }+\frac { 58 } { 135 }\cdot 18 ^ { 2 } =\frac { 642 } { 5 }m $. $ S_{ A } \left ( { 17 } \right )=\frac { 1 } { 2 }a.17 ^ { 2 } =\frac { 289 } { 2 }a $. $ S_{ T } \left ( { 18 } \right )=S_{ A } \left ( { 17 } \right )\Rightarrow \frac { 642 } { 5 }=\frac { 289 } { 2 }a\Rightarrow a=\frac { 1284 } { 1445 }\,\,\left ( { \,{ \rm{ m/s } } ^ { { \rm{ 2 } } } } \right ) $. c) SAI Vận tốc xe Cứu thương khi đuổi kịp Taxi ($ t'=17{ \rm{ s } } $): $ v_{ A } \left ( { 17 } \right )=a\cdot t'=\frac { 1284 } { 1445 }\cdot 17=\frac { 1284 } { 5×17 ^ { 2 } }\cdot 17=\frac { 1284 } { 85 }\approx 15\,\,\left ( { { \rm{ m/s } } } \right ) $. d) ĐÚNG Vận tốc trung bình từ lúc gặp nhau ($ t=18 $) đến $ t=28 $: Vận tốc trung bình của xe Taxi từ lúc $ t=18{ \rm{ s } } $ đến $ t=28{ \rm{ s } } $ $ v_{ T } \left ( { TB } \right )=\frac { \int _{ 18 }^{ 28 } { v\left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t } } { 28-18 }=\frac { \int _{ 18 }^{ 28 } { \left[ -\frac { 1 } { 180 }t ^ { 2 } +\frac { 116 } { 135 }t \right]\,{ \rm{ d } }t } } { 28-18 }=\frac { \frac { 1510 } { 9 } } { 10 }=\frac { 151 } { 9 }\approx 16,78\,\,\left ( { { \rm{ m/s } } } \right ) $. Vận tốc trung bình của xe Cứu thương từ lúc $ t=17{ \rm{ s } } $ đến $ t=27{ \rm{ s } } $ $ S_{ A } \left ( { 27 } \right )=\frac { 1 } { 2 }a.27 ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 1284 } { 1445 }\cdot 729=\frac { 467918 } { 1445 }\,\,\left ( { { \rm{ m } } } \right ) $. $ S_{ A } \left ( { 17 } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1284 } { 1445 }.17 ^ { 2 } =\frac { 642 } { 5 } $ m. $ v_{ A } \left ( { TB } \right )=\frac { S_{ A } \left ( { 27 } \right )-S_{ A } \left ( { 17 } \right ) } { 27-17 }=\frac { \frac { 467918 } { 1445 }-\frac { 642 } { 5 } } { 10 }=\frac { 56476 } { 289.10 }\approx 19,54\,\,\left ( { { \rm{ m/s } } } \right ) $. Do đó $ v_{ A } \left ( { TB } \right )>v_{ T } \left ( { TB } \right ) $ hay trong khoảng thời gian kể từ lúc hai xe gặp nhau cho đến giây thứ $ 28 $ (kể từ khi Taxi chuyển động rời trạm thu phí) vận tốc trung bình của xe Cứu thương lớn hơn vận tốc trung bình của xe Taxi.