Cho hypebol $(H): \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$ có hai tiêu điểm $F_1, F_2$. Tìm tung độ âm của điểm $M$ thuộc $(H)$ sao cho $MF_1 = 3$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Giả sử $M(x_0; y_0)$ là điểm cần tìm. Từ phương trình chính tắc của hypebol $(H): \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$, ta có: - $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ - $b^2 = 1 \Rightarrow b = 1$ - $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 1 = 10 \Rightarrow c = \sqrt{10}$ Vì $M(x_0; y_0) \in (H)$ nên công thức bán kính qua tiêu của điểm $M$ ứng với tiêu điểm $F_1$ là: $MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x_0 \right| = \left| 3 + \frac{\sqrt{10}}{3}x_0 \right|$ Theo giả thiết, $MF_1 = 3$, do đó: $\left| 3 + \frac{\sqrt{10}}{3}x_0 \right| = 3 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3 + \frac{\sqrt{10}}{3}x_0 = 3 \\\\ 3 + \frac{\sqrt{10}}{3}x_0 = -3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_0 = 0 \\\\ x_0 = -\frac{9\sqrt{10}}{5} \end{array}\right.$ - Với $x_0 = 0$, thay vào phương trình của $(H)$ ta được: $\frac{0^2}{9} - y_0^2 = 1 \Leftrightarrow y_0^2 = -1$ (vô lý). - Với $x_0 = -\frac{9\sqrt{10}}{5}$, thay vào phương trình của $(H)$ ta được: $\frac{\left(-\frac{9\sqrt{10}}{5}\right)^2}{9} - y_0^2 = 1 \Leftrightarrow \frac{18}{5} - y_0^2 = 1 \Leftrightarrow y_0^2 = \frac{13}{5} \Leftrightarrow y_0 = \pm\frac{\sqrt{65}}{5}$ Do điểm $M$ có tung độ âm nên ta chọn $y_0 = -\frac{\sqrt{65}}{5} \approx -1,6$. Vậy tung độ của điểm $M$ là $-1,6$.