Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với $ A\left ( { 5;5 } \right ),\,\,B\left ( { 6;-2 } \right ) $ và $ C\left ( { -2;4 } \right ) $ có tâm $ I\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $. Tính $ 3x_{ 0 } +5y_{ 0 } $.

Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -2ax-2by+c=0 $ với $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -c>0 $. Vì đường tròn đi qua ba điểm $ A\left ( { 5;5 } \right ),\,\,B\left ( { 6;-2 } \right ) $ và $ C\left ( { -2;4 } \right ) $ nên ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 5 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } -2.a.5-2.b.5+c=0 \\ 6 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } -2.a.6-2.b.\left ( { -2 } \right )+c=0 \\ \left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +4 ^ { 2 } -2.a.\left ( { -2 } \right )-2.b.4+c=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} -10a-10b+c=-50 \\ -12a+4b+c=-40 \\ 4a-8b+c=-20 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=1 \\ c=-20 \end{array} \right. $. Tâm đường tròn là $ I\left ( { 2;1 } \right ) $. Vậy $ 3x_{ 0 } +5y_{ 0 } =3.2+5.1=11 $.