(Sở Bắc Giang 2025) Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $ x $ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $ p(x)=90-0,01x ^ { 2 } $ (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $ x $ tấn sản phẩm trong một tháng là $ C(x)=\frac { 1 } { 2 }(200+27x) $ (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $ 10\% $ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Gọi $ x $ là số tấn sản phẩm nhà máy B đặt hàng nhà máy A hàng tháng ($ 0\leq x\leq 90 $) Tổng doanh thu hàng tháng của nhà máy A là $ xp(x)=90x-0,01x ^ { 3 } $ (triệu đồng) Thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $ 9x-0,001x ^ { 3 } $ (triệu đồng) Tổng chi phí mà nhà máy A phải chi trả hàng tháng là $ \frac { 1 } { 2 }(200+27x)+(9x-0,001x ^ { 3 } ) $ (triệu đồng) Khi đó, lợi nhuận hàng tháng của nhà máy A là $ (90x-0,01x ^ { 3 } )-\frac { 1 } { 2 }(200+27x)-(9x-0,001x ^ { 3 } )=-0,009x ^ { 3 } +67,5x-100 $ (triệu đồng) Xét hàm số $ f(x)=-0,009x ^ { 3 } +67,5x-100 ,\,x\in [0;90] $ Ta có: $ f'(x)=-0,027x ^ { 2 } +67,5 $. $ f'(x)=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=50 \\ x=-50\,\,(l) \end{array} \right. $ và $ f(0)=-100,\,f(50)=2150,\,f(90)=-586 $. Vậy mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là $ 2150 $ triệu đồng.