Đúng/Sai · Câu 11
Trong hệ tọa độ $ Oxy $, cho các đường thẳng $ d_{ 1 } :3x+4y-1=0 $; $ d_{ 2 } :x+2y-3=0 $ và $ d_{ 3 } :\left \{ \begin{array}{l} x=1-4t \\ y=2+3t \end{array} \right.\left ( { t∈\mathbb{R} } \right ) $. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) sai. Ta có $ d_{ 1 } $ có vectơ pháp tuyến là $ n_{ 1 } =\left ( { 3;4 } \right ) $; $ d_{ 2 } $ có vectơ pháp tuyến là $ n_{ 2 } =\left ( { 1;2 } \right ) $.
Vì $ \frac { 3 } { 1 }≠\frac { 4 } { 2 } $ nên $ n_{ 1 } $ không cùng phương $ n_{ 2 } $. Suy ra $ d_{ 1 } $ cắt $ d_{ 2 } $.
Toạ độ giao điểm giữa $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ thỏa mãn hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 3x+4y=1 \\ x+2y=3 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=4 \end{array} \right. $.
b) đúng. Ta có $ B∈d_{ 3 } $ và $ OB=\sqrt[] { 5 } $
c) sai. Thay $ y=0 $ vào phương trình đường thẳng $ d_{ 2 } $ ta có $ x-3=0⇔x=3 $.
Suy ra giao điểm giữa đường thẳng $ d_{ 2 } $ và trục hoành có hoành độ bằng $ 3 $.
d) đúng. Ta có $ A\left ( { -5;4 } \right ) $ là giao điểm của $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $.
$ M\left ( { 1-4t;2+3t } \right )∈d_{ 3 } $.
$ AM=\sqrt[] { \left ( { 6-4t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 3t-2 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25t ^ { 2 } -60t+40 }=\sqrt[] { \left ( { 5t-6 } \right ) ^ { 2 } +4 }≥2 $.
Suy ra $ AM $ lớn nhất khi $ t=\frac { 6 } { 5 }⇔M\left ( { -\frac { 19 } { 5 };\frac { 28 } { 5 } } \right ) $.