Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho ba điểm $ A\left ( { 1\,\;\,1 } \right ),\,\,B\left ( { 4\,\;\,-2 } \right ),\,C\left ( { 3\,\;\,3 } \right ) $ và đường thẳng $ Δ:\,x+2y-3=0 $. Điểm $ M\left ( { m\,\;\,n } \right ) $ trên đường thẳng $ Δ $ sao cho $ T=MA ^ { 2 } +2MB ^ { 2 } +3MC ^ { 2 } $đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $ P=m+n $.

Lời giải Đáp số: $ 2,8 $. Gọi $ I\left ( { a\,\;\,b } \right ) $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 } $(1). Khi đó ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { IA }=\left ( { 1-a,\\;,1-b } \right ) \\ 2\overset\rightarrow { IB }=\left ( { 8-2a,\\;,-4-2b } \right ) \\ 3\overset\rightarrow { IC }=\left ( { 9-3a,\\;,9-3b } \right ) \end{array} \right.⇒\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC }=\left ( { 18-6a\,\;\,6-6b } \right ) $. Nên $ \left ( { 1 } \right )⇔\left \{ \begin{array}{l} 18-6a=0 \\ 6-6b=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=1 \end{array} \right.⇒I\left ( { 3\,\;\,1 } \right ) $. Ta có $ T=\overset\rightarrow { MA } ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { MB } ^ { 2 } +3\overset\rightarrow { MC } ^ { 2 } =\left ( { \overset\rightarrow { MI } +\overset\rightarrow { IA } } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { \overset\rightarrow { MI } +\overset\rightarrow { IB } } \right ) ^ { 2 } +3\left ( { \overset\rightarrow { MI } +\overset\rightarrow { IC } } \right ) ^ { 2 } $. $ =6\overset\rightarrow { MI } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { IA } ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { IB } ^ { 2 } +3\overset\rightarrow { IC } ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { MI }\left ( { \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }+3\overset\rightarrow { IC } } \right ) $. $ =6MI ^ { 2 } +\left ( { IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } +3IC ^ { 2 } } \right ) $. Mặt khác gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ lên đường thẳng $ Δ $ thì $ MI ^ { 2 } ≥IH ^ { 2 } $. Vậy $ T≥6IH ^ { 2 } +\left ( { IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } +3IC ^ { 2 } } \right ) $ và $ T=6IH ^ { 2 } +IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } +3IC ^ { 2 } ⇔M≡H $. Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi $ M $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ lên đường thẳng $ Δ $. Vì $ IM⊥Δ⇒IM:\,2x-y+c=0 $ mà $ I∈IM⇒2.3-1+c=0⇒c=-5⇒IM:\,2x-y-5=0 $. Tọa độ điểm $ M $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x+2y-3=0 \\ 2x-y-5=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 13 } { 5 } \\ y=\frac { 1 } { 5 } \end{array} \right.⇔M\left ( { \frac { 13 } { 5 }\,\;\,\frac { 1 } { 5 } } \right ) $. Vậy $ \left \{ \begin{array}{l} m=\frac { 13 } { 5 } \\ n=\frac { 1 } { 5 } \end{array} \right.⇒P=m+n=\frac { 14 } { 5 }=2,8 $.