Cho tam giác $ ABC $, có $ A\left ( { -2\,;\,3 } \right ) $. Gọi $ M\left ( { 1\,;\,-3 } \right ) $ là trung điểm của $ AB $ và $ N\left ( { 2\,;\,-1 } \right ) $ là trung điểm của $ AC $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) đúng. Toạ độ điểm $ B\left ( { 4\,;\,-9 } \right ) $ và điểm $ C\left ( { 6\,;\,-5 } \right ) $. Vì $ M\left ( { 1\,;\,-3 } \right ) $ là trung điểm của $ AB $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ M } =\frac { x_{ A } +x_{ B } } { 2 } \\ y_{ M } =\frac { y_{ A } +y_{ B } } { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ B } =2x_{ M } -x_{ A } \\ y_{ B } =2y_{ M } -y_{ A } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ B } =2.1-\left ( { -2 } \right )=4 \\ y_{ B } =2.\left ( { -3 } \right )-3=-9 \end{array} \right.⇒B\left ( { 4\,;\,-9 } \right ) $. Vì $ N\left ( { 2\,;\,-1 } \right ) $ là trung điểm của $ AC $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ N } =\frac { x_{ A } +x_{ C } } { 2 } \\ y_{ N } =\frac { y_{ A } +y_{ C } } { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ C } =2x_{ N } -x_{ A } \\ y_{ C } =2y_{ N } -y_{ A } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ C } =2.2-\left ( { -2 } \right )=6 \\ y_{ C } =2.\left ( { -1 } \right )-3=-5 \end{array} \right.⇒C\left ( { 6\,;\,-5 } \right ) $. b) sai. Phương trình tổng quát của đường thẳng $ BC $ là Ta có $ \overset\rightarrow { BC }=\left ( { 2\,;\,4 } \right ) $. Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng $ BC $ là: $ \overset\rightarrow { n_{ BC } }=\left ( { 2\,;\,-1 } \right ) $. Phương trình tổng quát của đường thẳng $ BC $ đi qua điểm $ B\left ( { 4\,;\,-9 } \right ) $ và có véctơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ BC } }=\left ( { 2\,;\,-1 } \right ) $ là: $ 2\left ( { x-4 } \right )-1\left ( { y+9 } \right )=0 $ hay $ 2x-y-17=0 $. c) đúng. Phương trình tổng quát của đường thẳng $ Δ $ đi qua $ A $ và vuông góc với $ BC $ là. Vì đường thẳng $ Δ $ đi qua $ A $ và vuông góc với $ BC $ nên đường thẳng $ Δ $ nhận $ \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC }=\left ( { 1\,;\,2 } \right ) $ làm véctơ pháp tuyến. Khi đó, phương trình tổng quát có dạng: $ 1.\left ( { x+2 } \right )+2.\left ( { y-3 } \right )=0 $ hay $ x+2y-4=0 $. d) sai. Hình chiếu của điểm $ A $ lên $ BC $ là điểm $ H\left ( { x_{ H } \,;\,y_{ H } } \right ) $. Khi đó $ 3x_{ H } -2y_{ H } =-\frac { 132 } { 5 } $. Hình chiếu $ H $ của $ A $ lên $ BC $ là giao điểm của đường thẳng $ BC $ và đường thẳng $ Δ $. Khi đó toạ độ điểm $ H $ là nghiệm của hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 2x-y-17=0 \\ x+2y-4=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 38 } { 5 } \\ y=-\frac { 9 } { 5 } \end{array} \right. $. Suy ra $ 3x_{ H } -2y_{ H } =3.\frac { 38 } { 5 }-2.\left ( { -\frac { 9 } { 5 } } \right )=\frac { 132 } { 5 } $.