Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy $, cho tam giác $ ABC $. Điểm $ M\left ( { 2;0 } \right ) $ là trung điểm $ AB $. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ $ A $ lần lượt có phương trình $ 7x-2y-3=0 $ và $ 6x-y-4=0 $. Biết phương trình đường thẳng $ AC $ có dạng $ ax+by+5=0 $. Tính $ a+b $.

Lời giải Đáp số: -1 Gọi $ AN $, $ AH $ lần lượt là đường trung tuyến và đường cao kẻ từ $ A $ của tam giác $ ABC $ Tọa độ điểm $ A $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 7x-2y-3=0 \\ 6x-y-4=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=2 \end{array} \right.\Rightarrow A\left ( { 1\,;\,2 } \right ) $. Vì điểm $ M\left ( { 2\,;\,0 } \right ) $ là trung điểm $ AB $ $ ⇒B\left ( { 3\,;\,-2 } \right ) $ Đường thẳng $ BC $ vuông góc với $ AH $. Chọn vtpt $ \overset\rightarrow { n_{ BC } }=\overset\rightarrow { u_{ AH } }=\left ( { 1\,;\,6 } \right ) $ Phương trình đường thẳng $ BC $ là $ \left ( { x-3 } \right )+6\left ( { y+2 } \right )=0⇔x+6y+9=0 $ Tọa độ $ N $là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 7x-2y-3=0 \\ x+6y+9=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=\frac { -3 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow N\left ( { 0\,;\,\frac { -3 } { 2 } } \right ) $ Từ $ N $ là trung điểm $ BC $ Suy ra $ C\left ( { -3\,;\,-1 } \right ) $. Đường thẳng $ AC $ đi qua $ A\left ( { 1\,;\,2 } \right ) $ và $ C\left ( { -3\,;\,-1 } \right ) $ nên nhận $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -4\,;\,-3 } \right ) $ làm vectơ chỉ phương, suy ra vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n }_{ AC } =\left ( { 3\,;\,-4 } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ AC $ là: $ 3\left ( { x-1 } \right )-4\left ( { y-2 } \right )=0⇔3x-4y+5=0 $. Vậy $ a=3 $, $ b=-4⇒a+b=-1 $.