Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $. Đường thẳng $ AB $ có phương trình $ 2x-y-1=0 $, đường cao $ AH $ có phương trình $ x+y-2=0 $ ($ H $ thuộc cạnh $ BC $). Gọi $ P(1\,;\,-3) $ là trung điểm của $ BH $,$ Q $ là trung điểm của $ AH $. Tìm $ m $ biết phương trình tổng quát của đường thẳng $ CQ $ có dạng $ 3y+m=0 $.

Ta có $ PQ $ là đường trung bình của $ ΔABH $ $ ⇒PQ{ \rm{ // } }AB $, mà $ AB⊥AC⇒PQ⊥AC $. Suy ra $ Q $ là trực tâm của $ ΔAPC $ $ ⇒AP⊥CQ $. $ AB∩AH=A $ nên tọa độ $ A $ là nghiệm hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 2x-y-1=0 \\ x+y-2=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \end{array} \right.⇔A\left ( { 1\,;\,1 } \right ) $. Do $ AB⊥AC $ nên $ \overset\rightarrow { n }_{ AC } =\overset\rightarrow { u }_{ AB } =\left ( { 1\,;\,2 } \right ) $. Ta có phương trình $ AC:x-1+2\left ( { y-1 } \right )=0⇔x+2y-3=0 $. Do $ BC⊥AH $ nên $ \overset\rightarrow { n }_{ BC } =\overset\rightarrow { u }_{ AH } =\left ( { 1\,;\,-1 } \right ) $ Mặt khác $ P∈BC $ suy ra phương trình $ BC $: $ x-1-(y+3)=0⇔x-y-4=0 $. $ BC∩AC=C $ nên tọa độ $ C $ là nghiệm hệ phương trình:$ \left \{ \begin{array}{l} x+2y-3=0 \\ x-y-4=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 11 } { 3 } \\ y=-\frac { 1 } { 3 } \end{array} \right. $. $ ⇒C\left ( { \frac { 11 } { 3 };-\frac { 1 } { 3 } } \right ) $ $ AP⊥CQ $ nên đường thẳng $ CQ $ nhận $ \frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AP }=\left ( { 0\,;\,-1 } \right ) $ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng $ CQ $ là: $ -\left ( { y+\frac { 1 } { 3 } } \right )=0⇔3y+1=0 $. Vậy $ m=1 $.