Cho ba điểm $ A\left ( { -2;2 } \right ) $, $ B\left ( { 7;{ \rm{ } }5 } \right ) $, $ C\left ( { 4;-5 } \right ) $ và đường thẳng $ Δ:2x+y-4=0 $. Toạ độ $ N\left ( { a,b } \right ) $ thuộc $ Δ $ sao cho $ \left | { \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } } \right | $ có giá trị nhỏ nhất. Tìm $ a+b-\frac { 1 } { 15 } $? với $ a,b∈\mathbb{R} $.

Gọi $ G $ là trọng tâm của tam gíac $ ABC $. $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ G } =\frac { x_{ A } +x_{ B } +x_{ C } } { 3 } \\ y_{ G } =\frac { y_{ A } +y_{ B } +y_{ C } } { 3 } \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ G } =3 \\ y_{ G } =\frac { 2 } { 3 } \end{array} \right. $ Nên $ G\left ( { 3;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $. $ \left | { \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } } \right | =\left | { \overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { NC } } \right | =\left | { 3\overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { NC } } \right | $ $ =\left | { 3\overset\rightarrow { NG } } \right |=3NG $ Theo yêu cầu bài toán: $ NG $ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $ N $ là hình chiếu của $ G $ lên đường thẳng $ Δ $. Đường thẳng $ d $ vuông góc với $ Δ $ có dạng: $ x-2y+m=0 $ Đường thẳng $ d $ đi qua $ G\left ( { 3;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $ nên: $ 3-2.\frac { 2 } { 3 }+m=0 $$ ⇔m=-\frac { 5 } { 3 } $. Nên $ Δ $: $ x-2y-\frac { 5 } { 3 }=0 $. Toạ độ điểm $ N $ là giao điểm của $ d $ và $ Δ $: $ \left \{ \begin{array}{l} x-2y-\frac { 5 } { 3 }=0 \\ 2x+y=4 \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 29 } { 15 } \\ y=\frac { 2 } { 15 } \end{array} \right. $ Vậy $ N\left ( { \frac { 29 } { 15 };\frac { 2 } { 15 } } \right ) $nên $ \frac { 29 } { 15 }+\frac { 2 } { 15 }-\frac { 1 } { 15 }=2 $.