Bác Bình có một mảnh đất dạng nửa hình tròn đường kính $AB = 10\text{ m}$. Trên mảnh đất đó bác muốn trồng hoa trong hình chữ nhật $CDEF$ (như hình vẽ). Biết chu vi của hình chữ nhật $CDEF$ bằng $20\text{ m}$. Tính diện tích của mảnh đất mà bác Bình trồng hoa (đơn vị $\text{m}^2$)?

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, khi đó $O$ là tâm của nửa hình tròn và bán kính $R = OA = OB = 5\text{ m}$. Do tính đối xứng, $O$ cũng là trung điểm của $CD$. Đặt $OC = x$ (với $0 < x < 5$), suy ra $CD = 2x$. Xét tam giác vuông $OCF$ tại $C$ (với $F$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 5$), ta có: $CF = \sqrt{OF^2 - OC^2} = \sqrt{25 - x^2}$. Chu vi của hình chữ nhật $CDEF$ là: $2(CD + CF) = 2\left(2x + \sqrt{25 - x^2}\right) = 4x + 2\sqrt{25 - x^2}$. Theo giả thiết, chu vi bằng $20\text{ m}$ nên ta có phương trình: $4x + 2\sqrt{25 - x^2} = 20 \Leftrightarrow \sqrt{25 - x^2} = 10 - 2x$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 10 - 2x \ge 0 \\ 25 - x^2 = (10 - 2x)^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \le 5 \\ 25 - x^2 = 100 - 40x + 4x^2 \end{array}\right.$ Phương trình tương đương $5x^2 - 40x + 75 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 15 = 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-5) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = 5$. Với $x = 5$ thì $CF = \sqrt{25 - 25} = 0$ (loại vì hình chữ nhật suy biến). Với $x = 3$ (thỏa mãn $0 < x < 5$), ta có $CD = 2x = 6$ (m) và $CF = \sqrt{25 - 9} = 4$ (m). Vậy diện tích mảnh đất trồng hoa là $S_{CDEF} = CD.CF = 6.4 = 24$ (m$^2$).