Một vật chuyển động với vận tốc $ v\left ( { { \rm{ km/h } } } \right ) $ phụ thuộc vào thời gian $ t\left ( { { \rm{ h } } } \right ) $ có đồ thị của hàm số dạng hàm bậc ba như hình bên. Biết rằng tại thời điểm $ t_{ 1 } =1\,{ \rm{ h } } $ vật có vận tốc $ v_{ 1 } =4\,{ \rm{ km/h } } $ và tại thời điểm $ t_{ 2 } =2\,{ \rm{ h } } $ vật có vận tốc $ v_{ 2 } =1\,{ \rm{ km/h } } $. Hỏi vận tốc của vật tại thời điểm $ t=3\,{ \rm{ h } } $ bằng bao nhiêu km/h?

Giả sử hàm số vận tốc có dạng: $ v\left ( { t } \right )=at ^ { 3 } +bt ^ { 2 } +ct+d $ (với $ a\neq 0 $ và $ t\geq 0 $). Ta có: $ v'\left ( { t } \right )=3at ^ { 2 } +2bt+c $. Dựa vào đồ thị hàm số, tại các thời điểm $ t_{ 1 } ,t_{ 2 } $ đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm cực trị $ A\left ( { 1;4 } \right ),\,\,B\left ( { 2;1 } \right ) $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} v\left ( { 1 } \right )=4 \\ v'\left ( { 1 } \right )=0 \\ v\left ( { 2 } \right )=1 \\ v'\left ( { 2 } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a+b+c+d=4 \\ 3a+2b+c=0 \\ 8a+4b+2c+d=1 \\ 12a+4b+c=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=6 \\ b=-27 \\ c=36 \\ d=-11 \end{array} \right. $. Suy ra: $ v\left ( { t } \right )=6t ^ { 3 } -27t ^ { 2 } +36t-11\,\,\left ( { { \rm{ km/h } } } \right ) $. Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $ t=3\,h $ là: $ v\left ( { 3 } \right )=6⋅3 ^ { 3 } -27⋅3 ^ { 2 } +36⋅3-11=16\,{ \rm{ km/h } } $.