Ông X trồng cây cao su trên một khu đất hình tam giác đều có diện tích $ 2024 $ $ \left ( { m ^ { 2 } } \right ) $. Hàng thứ nhất ông trồng 1 cây ở đỉnh, hàng thứ hai cách đỉnh $ 1 $m ông trồng nhiều hơn hàng thứ nhất $ 2 $ cây và cứ tiếp tục như vậy đến hàng cuối cùng (mỗi hàng cách đều nhau và song song với cạnh của khu đất). Hỏi ông X trồng được bao nhiêu cây cao su?

Gọi $ x $ (m) là độ dài cạnh của khu đất. Ta có: $ S=\frac { x ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }⇔2024=\frac { x ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }⇔x ^ { 2 } =\frac { 8096\sqrt[] { 3 } } { 3 }⇒x≈68,4 $ (m). Suy ra chiều cao của khu đất là: $ h=\frac { x\sqrt[] { 3 } } { 2 }≈59,2 $ (m). $ ⇒ $ ông X trồng được $ 60 $ hàng. Gọi $ u_{ n } $ là số cây trồng được ở hàng thứ $ n $, $ u_{ n+1 } =u_{ n } +2,\,\,\,n≥1 $. Dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là cấp số cộng với $ u_{ 1 } =1 $ và công sai $ d=2 $, $ n=60 $. Tổng số cây ở $ 60 $ hàng là : $ S_{ 60 } =u_{ 1 } +u_{ 2 } +...+u_{ 60 } \,=\frac { 60\left[ 2u_{ 1 } +\left ( { 60-1 } \right )d \right] } { 2 }=\frac { 60\left[ 2.1+\left ( { 60-1 } \right ).2 \right] } { 2 }=3600 $. Như vậy tổng số cây cao su ông X trồng được trên khu đất là $ 3600 $ cây.