Người ta trồng $ 3003 $ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng $ 1 $ cây, hàng thứ hai trồng $ 2 $ cây, hàng thứ ba trồng $ 3 $ cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là

Lời giải Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là $u_n$. Ta có: $u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 3, \dots$ và $S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n = 3003$. Nhận xét dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_1 = 1$, công sai $d = 1$. Khi đó: $$ S = \frac{n \Big[ 2u_1 + (n - 1)d \Big]}{2} = 3003 $$ Suy ra: $$ \frac{n \Big[ 2 \cdot 1 + (n - 1) \cdot 1 \Big]}{2} = 3003 $$ $$ \Leftrightarrow n(n + 1) = 6006 $$ $$ \Leftrightarrow n^2 + n - 6006 = 0 $$ $$ \Leftrightarrow n = 77 \text{ hoặc } n = -78 $$ $$ \Leftrightarrow n = 77 \quad \text{(vì } n \in \mathbb{N}\text{)} $$ Vậy số hàng cây được trồng là $77$.