Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $H, I, K$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $KD$; $N$ là giao điểm của $DH$ và $CI$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Đúng. Vì $HI$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HI \parallel AB$. Mà $AB \subset (ABCD) \Rightarrow HI \parallel (ABCD)$ (1). b) Đúng. Ta có $KI \parallel BC$ mà $BC \subset (ABCD) \Rightarrow KI \parallel (ABCD)$ (2). Mặt khác: $HI \subset (HKI)$ mà $KI \subset (HKI)$, $HI \cap KI = I$ (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra $(HIK) \parallel (ABCD)$. c) Đúng. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung là $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng $d$ qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$. Lại có: $M$ là giao điểm của $AI$ và $KD$ nên $M \in (SAB) \cap (SCD) \Rightarrow M \in d$. Mặt khác $I$ là trung điểm của $SB$ nên tứ giác $ABMS$ là hình bình hành. d) Sai. Vì: $$ \left\{\begin{array}{l} M \in AI, \ AI \subset (SAB) \\ M \in DK, \ DK \subset (SCD) \end{array}\right. \Rightarrow M \in (SAB) \cap (SCD) \Rightarrow SM = (SAB) \cap (SCD) $$ Khi đó, ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} (SAB) \cap (SCD) = SM \\ AB \subset (SAB), \ CD \subset (SCD) \end{array}\right. \Rightarrow SM \parallel AB \parallel CD \parallel HI \quad (1) $$ Vì: $$ \left\{\begin{array}{l} N \in DH, \ DH \subset (SAD) \\ N \in CI, \ CI \subset (SBC) \end{array}\right. \Rightarrow N \in (SAD) \cap (SBC) \Rightarrow SN = (SAD) \cap (SBC) $$ Khi đó, ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} (SAD) \cap (SBC) = SN \\ AD \subset (SAD), \ BC \subset (SBC) \end{array}\right. \Rightarrow SN \parallel AD \parallel BC \parallel KI \quad (2) $$ Từ (1), (2) suy ra $(SMN) \parallel (HIK)$.