Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập $A$.

Lời giải Số phần tử của tập hợp $A$ (cũng chính là số phần tử của không gian mẫu $\Omega$): Mỗi số thuộc $A$ có dạng $\overline{a_1a_2...a_9}$ với các chữ số đôi một khác nhau và $a_1 \neq 0$. - Chữ số $a_1$ có 9 cách chọn (từ tập $\{1, 2, \dots, 9\}$). - 8 chữ số còn lại được chọn từ 9 chữ số còn lại và xếp vào 8 vị trí tiếp theo, có $A_9^8$ cách. Do đó, số phần tử của tập $A$ là: $n(\Omega) = 9A_9^8$ Xét từng phát biểu: - **Phát biểu a) ĐÚNG:** Biến cố $M$: “Chọn được một số thuộc $A$”. Vì ta chọn ngẫu nhiên một số từ tập $A$ nên số phần tử của biến cố $M$ chính là số phần tử của tập $A$, do đó $n(M) = 9A_9^8$. - **Phát biểu b) SAI:** Biến cố $N$: “Chọn được một số thuộc $A$ và số đó là số lẻ”. Số cần chọn có dạng $\overline{a_1a_2...a_9}$ là số lẻ nên: - Chữ số tận cùng $a_9 \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \Rightarrow$ có 5 cách chọn $a_9$. - Chữ số đầu tiên $a_1 \neq 0$ và $a_1 \neq a_9 \Rightarrow$ có 8 cách chọn $a_1$. - 7 chữ số còn lại xếp vào các vị trí từ $a_2$ đến $a_8$ có $A_8^7 = 40320$ cách. Suy ra $n(N) = 5 \cdot 8 \cdot A_8^7 = 5 \cdot 8 \cdot 40320 = 1\,612\,800$. Do đó $P(N) = \dfrac{n(N)}{n(\Omega)} = \dfrac{1612800}{3265920} = \dfrac{40}{81} \approx 0,494 \neq 0,34$. - **Phát biểu c) SAI:** Biến cố $P$: “Chọn được một số thuộc $A$ và số đó là số chẵn”. Số cần chọn là số chẵn khi chữ số tận cùng $a_9$ là số chẵn. - Nếu $a_9 = 0$: có 9 cách chọn $a_1$ (từ các chữ số còn lại, không bị loại vì chữ số 0 đã dùng), 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí còn lại có $A_8^7$ cách. Số các số trong trường hợp này: $9 \cdot A_8^7 = 9 \cdot 40320 = 362\,880$. - Nếu $a_9 \in \{2,4,6,8\}$ (4 cách chọn $a_9$): $a_1 \neq 0$ và $a_1 \neq a_9$ nên có 8 cách chọn $a_1$; 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí còn lại có $A_8^7$ cách. Số các số trong trường hợp này: $4 \cdot 8 \cdot A_8^7 = 4 \cdot 8 \cdot 40320 = 1\,290\,240$. Suy ra $n(P) = 362\,880 + 1\,290\,240 = 1\,653\,120$. Do đó $P(P) = \dfrac{n(P)}{n(\Omega)} = \dfrac{1653120}{3265920} = \dfrac{41}{81} \approx 0,506 \neq 0,45$. - **Phát biểu d) ĐÚNG:** Biến cố $Q$: “Chọn được một số thuộc $A$ và số đó chia hết cho $3$”. Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Tổng các chữ số từ 0 đến 9 là $45$, chia hết cho 3. Vì số thuộc $A$ gồm 9 trong 10 chữ số (thiếu đúng 1 chữ số $d$), tổng các chữ số của số đó là $45-d$, chia hết cho 3 khi và chỉ khi $d$ chia hết cho 3, tức $d \in \{0,3,6,9\}$. - Nếu $d=0$ (thiếu chữ số 0): các chữ số còn lại đều khác 0 nên mọi hoán vị đều hợp lệ, có $9! = 362\,880$ số. - Nếu $d \in \{3,6,9\}$ (3 giá trị): các chữ số còn lại có chứa chữ số 0, số cách xếp hợp lệ là $9! - 8! = 362\,880 - 40\,320 = 322\,560$ số mỗi trường hợp. Suy ra $n(Q) = 362\,880 + 3 \cdot 322\,560 = 362\,880 + 967\,680 = 1\,330\,560$. Do đó $P(Q) = \dfrac{n(Q)}{n(\Omega)} = \dfrac{1330560}{3265920} = \dfrac{11}{27} \approx 0,407$, thỏa mãn $0,4 \le P(Q) < 0,5$.