(Sở Tiền Giang 2025) Cho parabol $ \left ( { P_{ 1 } } \right ):\quad y=-x ^ { 2 } +6 $ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B; parabol $ \left ( { P_{ 2 } } \right ) $ đi qua hai điểm A; B và có đỉnh nằm trên đường thẳng $ d:y=a,\left ( { 0 < a < 6 } \right ) $. Gọi $ S_{ 1 } $ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P_{ 1 } } \right ) $ và d; gọi $ S_{ 2 } $ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P_{ 2 } } \right ) $ và trục hoành ( tham khảo hình vẽ). Biết rằng $ S_{ 1 } =S_{ 2 } $. Tính giá trị của biểu thức $ T=a ^ { 3 } -12a ^ { 2 } +108a $

Hoành độ giao điểm của $ \left ( { P_{ 1 } } \right ) $ và d là nghiệm của phương trình: $ a=-x ^ { 2 } +6⇒x=±\sqrt[] { 6-a } $. Từ giả thiết phương trình của $ \left ( { P_{ 2 } } \right ) $ cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ $ ±\sqrt[] { 6 } $ nên có dạng: $ y=k\left ( { -x ^ { 2 } +6 } \right ) $, mà $ \left ( { P_{ 2 } } \right ) $ đi qua điểm $ (0;a) $ nên $ a=k\left ( { -0 ^ { 2 } +6 } \right )⇒k=\frac { a } { 6 }. $ Vậy $ (P_{ 2 } ):\,\,y=\frac { a } { 6 }\left ( { -x ^ { 2 } +6 } \right ) $ Khi đó ta có Do $ S_{ 1 } =S_{ 2 } $ nên ta có: $ \frac { 4 } { 3 }\sqrt[] { 6-a }.\left ( { 6-a } \right )=\frac { 4\sqrt[] { 6 } } { 3 }a⇔\sqrt[] { 6-a }.\left ( { 6-a } \right )=\sqrt[] { 6 }a \ ⇔a ^ { 3 } -12a ^ { 2 } +108a=216 \ ⇒T=216 $