Cho cấp số cộng $ \left ( { u_{ n } } \right ) $có công sai $ d=2 $ và biểu thức $ u_{ 2 } ^{ 2 }+u_{ 3 } ^{ 2 }+u_{ 4 } ^{ 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất. Số $ 2026 $ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Ta có: $ u_{ 2 } ^{ 2 }+u_{ 3 } ^{ 2 }+u_{ 4 } ^{ 2 }=\left ( { u_{ 1 } +2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { u_{ 1 } +4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { u_{ 1 } +6 } \right ) ^ { 2 } $ $ =3u_{ 1 } ^{ 2 }+24u_{ 1 } +56=3\left ( { u_{ 1 } ^{ 2 }+8u_{ 1 } } \right )+56=3\left ( { u_{ 1 } +4 } \right ) ^ { 2 } +8\geq 8 $ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ u_{ 2 } ^{ 2 }+u_{ 3 } ^{ 2 }+u_{ 4 } ^{ 2 } $ bằng $ 8 $ khi $ u_{ 1 } =-4 $. Ta có $ 2026=-4+\left ( { n-1 } \right )2⇔n=1016 $.