Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ xác định bởi $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \\ u_{ n+1 } =\sqrt[] { 3u_{ n } ^{ 2 }+2 },n\geq 1 \\ \end{array} \end{array} \right. $. Biết tổng $ S=u_{ 1 } ^{ 2 }+u_{ 2 } ^{ 2 }+u_{ 3 } ^{ 2 }+….+u_{ 2025 } ^{ 2 }=3 ^ { k } -2026, $ tính $ k. $

Ta có: $ u_{ n+1 } ^{ 2 }=3u_{ n } ^{ 2 }+2⇔u_{ n+1 } ^{ 2 }+1=3\left ( { u_{ n } ^{ 2 }+1 } \right ) $. Đặt $ v_{ n } =u_{ n } ^{ 2 }+1;v_{ 1 } =2⇒v_{ n+1 } =3v_{ n } ⇒v_{ n } =v_{ 1 } q ^ { n-1 } =2.3 ^ { n-1 } ⇔u_{ n } ^{ 2 }=2.3 ^ { n-1 } -1 $ Ta có: $ S=u_{ 1 } ^{ 2 }+u_{ 2 } ^{ 2 }+u_{ 3 } ^{ 2 }+…+u_{ 2025 } ^{ 2 }=2\left ( { 3 ^ { 0 } +3 ^ { 1 } +…+3 ^ { 2024 } } \right )-2025 $ $ =2.3 ^ { 0 } ⋅\frac { 1-3 ^ { 2025 } } { 1-3 }-2025=3 ^ { 2025 } -2026\xrightarrow k=2025. $