Cho cấp số nhân$ \left ( { u_{ n } } \right ) $ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 3 } =16 \\ u_{ 2 } +u_{ 4 } =40 \end{array} \right.. $ Gọi $ q $ là công bội của $ \left ( { u_{ n } } \right ). $ Tính tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân $ \left ( { u_{ n } } \right ) $, biết $ q>1. $

Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 3 } =16 \\ u_{ 2 } +u_{ 4 } =40 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } .q ^ { 2 } =16 \\ u_{ 1 } .q+u_{ 1 } .q ^ { 3 } =40 \end{array} \right. $ Suy ra $ \frac { q } { 1+q ^ { 2 } }=\frac { 16 } { 40 }⇔2q ^ { 2 } -5q+2=0⇔\left[ \begin{array}{l} q=2 \\ q=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $ Vì $ q>1 $ nên $ q=2 $. Khi đó $ u_{ 1 } =4 $ Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là $ S_{ 8 } =\frac { u_{ 1 } \left ( { 1-q ^ { 8 } } \right ) } { 1-q }=\frac { 4\left ( { 1-2 ^ { 8 } } \right ) } { 1-2 }=1020. $