Đúng/Sai · Câu 23
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $AB = a$, $AC = 2a$, các mặt bên là các hình chữ nhật và $AA' = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Các khẳng định sau đúng hay sai?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Lời giải
a) Áp dụng định lý Pythagore ta có $BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$.
Hình chữ nhật $AA'C'C$ có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình vuông, do đó $AC' = AA'\sqrt{2} = 2a\sqrt{2}$.
b) Vì lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật nên $BB' \perp \Big( ABC \Big)$, do đó $BB' \perp BC$.
Xét tam giác vuông $BCC'$ vuông tại $B$: $BC' = \sqrt{BC^{2}+CC'^{2}} = \sqrt{3a^{2}+4a^{2}} = a\sqrt{7} \neq a\sqrt{6}$.
c) Ta có $BB' \parallel CC'$ nên $\Big( BB', AC' \Big) = \Big( CC', AC' \Big) = 45^\circ$.
d) $C'M$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC'$ nên:
$$
C'M^{2} = \frac{2AC'^{2} + 2BC'^{2} - AB^{2}}{4} = \frac{2 \cdot 8a^{2} + 2 \cdot 7a^{2} - a^{2}}{4} = \frac{29a^{2}}{4}
$$
Vậy $C'M = \frac{a\sqrt{29}}{2}$.