Trắc nghiệm · Câu 59
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $A$, $SA = a\sqrt{3}$, $SB = 2a$. Điểm $M$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $AM = 2MD$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SAB)$. Khi đó các đoạn giao tuyến của hình chóp với mặt phẳng $(P)$ tạo thành một đa giác $(H)$. Tính diện tích của đa giác đó.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\frac{5a^{2}\sqrt{3}}{18}$
Lời giải
Lời giải
Ta có:
$$
\begin{cases} (P) \parallel (SAB) \\ M \in AD, \ M \in (P) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (P) \cap (ABCD) = MN \\ (P) \cap (SCD) = PQ \end{cases}
$$
và $MN \parallel PQ \parallel AB$ (1).
Lại có:
$$
\begin{cases} (P) \parallel (SAB) \\ M \in AD, \ M \in (P) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (P) \cap (SAD) = MQ \\ (P) \cap (SBC) = NP \end{cases}
$$
và $MQ \parallel SA$, $NP \parallel SB$.
Mà tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $SA \perp AB \Rightarrow MN \perp MQ$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra đa giác $(H)$ là hình thang vuông tại $M$ và $Q$.
Mặt khác, vì $MQ \parallel SA$ nên:
$$
\frac{MQ}{SA} = \frac{DM}{DA} = \frac{DQ}{DS} \Rightarrow MQ = \frac{1}{3}SA \text{ và } \frac{DQ}{DS} = \frac{1}{3}
$$
Vì $PQ \parallel CD$ nên:
$$
\frac{PQ}{CD} = \frac{SQ}{SD} \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}AB
$$
với $AB = \sqrt{SB^{2} - SA^{2}} = a$.
Khi đó, diện tích hình thang $MNPQ$ là:
$$
S_{MNPQ} = \frac{1}{2} MQ \cdot (PQ + MN) = \frac{1}{2} \cdot \frac{SA}{3} \cdot \left(\frac{2AB}{3} + AB\right) = \frac{5a^{2}\sqrt{3}}{18}.
$$