Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 27
Một đoàn tàu có $10$ toa. Có $11$ hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người chọn ngồi một toa một cách ngẫu nhiên. Gọi biến cố $A$ "Một toa lên $2$ người, một toa lên $3$ người, một toa lên $6$người và $7$toa không có người nào lên cả". Số kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
+ Chọn 3 toa trong số 10 toa để sắp xếp hành khách lên tàu: $C_{10} ^{3}$cách.
+Xếp 2 hành khách lên toa thứ nhất: $C_{11} ^{2}$cách.
+ Xếp 3 hành khách lên toa thứ hai: $C_{9} ^{3}$cách.
+Xếp 6 hành khách lên toa thứ 3: $C_{6} ^{6}$cách.
+Hoán vị ba toa đã xếp cho nhau: $3!$ cách.
Suy ra: $C_{10} ^{3}.C_{11} ^{2}.C_{9} ^{3}.C_{6} ^{6}.3!=3326400.$
Cách 2:
+Chọn 1 toa để xếp 2 hành khách: $10.C_{11} ^{2}$cách.
+Chọn 1 toa tiếp theo để xếp 3 hành khách: $9.C_{9} ^{3}$cách.
+Chọn 1toa tiếp theo để xếp 6 hành khách: $8.C_{6} ^{6}$cách.
Suy ra: $10.C_{11} ^{2}.9.C_{9} ^{3}.8.C_{6} ^{6}=3326400.$
+ Chọn 3 toa trong số 10 toa để sắp xếp hành khách lên tàu: $C_{10} ^{3}$cách.
+Xếp 2 hành khách lên toa thứ nhất: $C_{11} ^{2}$cách.
+ Xếp 3 hành khách lên toa thứ hai: $C_{9} ^{3}$cách.
+Xếp 6 hành khách lên toa thứ 3: $C_{6} ^{6}$cách.
+Hoán vị ba toa đã xếp cho nhau: $3!$ cách.
Suy ra: $C_{10} ^{3}.C_{11} ^{2}.C_{9} ^{3}.C_{6} ^{6}.3!=3326400.$
Cách 2:
+Chọn 1 toa để xếp 2 hành khách: $10.C_{11} ^{2}$cách.
+Chọn 1 toa tiếp theo để xếp 3 hành khách: $9.C_{9} ^{3}$cách.
+Chọn 1toa tiếp theo để xếp 6 hành khách: $8.C_{6} ^{6}$cách.
Suy ra: $10.C_{11} ^{2}.9.C_{9} ^{3}.8.C_{6} ^{6}=3326400.$