Cho hình thang $ ABCD $ vuông tại $ A $ và $ B $, biết $ AD=a,BC=3a $ và cạnh $ AB=2a $. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { BD }=\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AB } $ nên $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { BD }=\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =0-(2a) ^ { 2 } =-4a ^ { 2 } $ (vì $ \overset\rightarrow { AB }⊥\overset\rightarrow { AD } $). b) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { BC }.\overset\rightarrow { BD }=BC.BD.\cos(\overset\rightarrow { BC },\overset\rightarrow { BD })=BC.BD.\cos \widehat { DBC } =BC.BD.\cos \widehat { BDA }=BC.BD.\frac { AD } { BD }=BC.AD=3a ^ { 2 } $. (trong đó $ \widehat { DBC }= \widehat { BDA } $ vì là hai góc so le trong). c) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { BD }=(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BC })(\overset\rightarrow { BA }+\overset\rightarrow { AD })=\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { BA }+\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }+\overset\rightarrow { BC }.\overset\rightarrow { BA }+\overset\rightarrow { BC }.\overset\rightarrow { AD } $ $ =-\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } +0+0+BC.AD.\cos0=-a ^ { 2 } . $ d) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { IJ }=\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BC } } \right ).\overset\rightarrow { IJ }=\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { IJ }+\overset\rightarrow { BC }.\overset\rightarrow { IJ }=\overset\rightarrow { BC }.\overset\rightarrow { IJ }=BC.IJ.\cos0 ^ { 0 } =6a ^ { 2 } . $