Cho tam giác $ ABC $ có $ AB=2,AC=3, \widehat { BAC }=60 ^ { 0 } $. Cho điểm $ M $ thỏa $ \overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MC }=\overset\rightarrow { 0 } $. Tính độ dài $ AM $.

Ta có: $ \overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MC }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\left ( { \overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AM } } \right )+2\left ( { \overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AM } } \right )=\overset\rightarrow { 0 }⇒\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } $. $ ⇒\overset\rightarrow { AM } ^ { 2 } =\left ( { \frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } } \right ) ^ { 2 } ⇔\overset\rightarrow { AM } ^ { 2 } =\left ( { \frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } } \right ) ^ { 2 } -2.\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }.\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } $. $ ⇔AM ^ { 2 } =\frac { 1 } { 9 }AB ^ { 2 } +\frac { 4 } { 9 }AC ^ { 2 } -\frac { 4 } { 9 }\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC } $. $ ⇔AM ^ { 2 } =\frac { 1 } { 9 }.2 ^ { 2 } +\frac { 4 } { 9 }.3 ^ { 2 } -\frac { 4 } { 9 }.2.3.\cos60°=\frac { 28 } { 9 }⇒AM=\frac { 2\sqrt[] { 7 } } { 3 } $.