Cho $AB = 1$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2$ là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lấy $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = -IA^2 = -\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = -\frac{1}{4}$. Ta có: $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\right)$ $= \overrightarrow{MI}^2 + \overrightarrow{MI} \cdot \left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\right) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}$ $= MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{0} - \frac{1}{4} = MI^2 - \frac{1}{4}$. Theo đề bài: $2 = MI^2 - \frac{1}{4} \Leftrightarrow MI^2 = \frac{9}{4} \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} = 1,5$. Suy ra tập hợp các điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R = 1,5$.