Cho $ ΔABC $ đều cạnh là 3. Điểm $ M $ thỏa mãn: $ 2MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =20 $, khi đó tập hợp điểm $ M $ thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Gọi $ N $ là điểm thỏa mãn $ 2\overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC }=0 $ và $ D $ là trung điểm $ BC $. Suy ra $ N $ là trung điểm $ AD $ nên $ NA=ND=\frac { AD } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 4 }; $ $ NB=NC=\sqrt[] { ND ^ { 2 } +BD ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 27 } { 16 }+\frac { 9 } { 4 } }=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 4 } $ Chèn $ N $ vào $ 2MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =20 $, ta được: $ 4MN ^ { 2 } +2NA ^ { 2 } +NB ^ { 2 } +NC ^ { 2 } =20 \\ ⇔4MN ^ { 2 } +2.\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } =20 $ Suy ra $ MN=\frac { \sqrt[] { 35 } } { 4 }≈1,48 $ Vậy tập hợp điểm $ M $ thỏa đường tròn tâm $ N $ bán kính$ R=MN=\frac { \sqrt[] { 35 } } { 4 }≈1,48 $.