Cho tam giác $ ABC $ đều cạnh bằng $ 1 $. Tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn đẳng thức $ 4MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =\frac { 5 } { 2 } $ nằm trên một đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có bán kính $ R $. Tính $ R $. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Gọi $ N $ là trung điểm đoạn $ BC $. Gọi $ I $ là điểm thỏa: $ 4\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 } ⇔4\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IN }=\overset\rightarrow { 0 } ⇔2\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IN }=\overset\rightarrow { 0 } $, nên điểm $ I $ thuộc đoạn thẳng $ AN $ sao cho $ IN=2IA $. Khi đó: $ IA=\frac { 1 } { 3 }AN=\frac { 1 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 } $, và $ IN=\frac { 2 } { 3 }AN=\frac { 2 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $. $ IB ^ { 2 } =IC ^ { 2 } =IN ^ { 2 } +BN ^ { 2 } =\frac { 1 } { 3 }+\frac { 1 } { 4 } =\frac { 7 } { 12 } $. Ta có: $ 4MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =\frac { 5 } { 2 } ⇔4\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 5 } { 2 } $. $ ⇔6MI ^ { 2 } +4IA ^ { 2 } +IB ^ { 2 } +IC ^ { 2 } =\frac { 5 } { 2 } ⇔6MI ^ { 2 } +4.\frac { 1 } { 12 }+2.\frac { 7 } { 12 }=\frac { 5 } { 2 } ⇔MI=\frac { 1 } { \sqrt[] { 6 } }≈0,41 $.