Cho tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $ có $ AB=5cm $. Tập hợp các điểm $ M $ trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: $ \overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MC }=25 $ là đường tròn có bán kính $ R=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { b } $, với $ a,\ b∈\mathbb{Z} $ và nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị biểu thức $ T=50a+4b $.

Từ giả thiết: $ \overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MC }=\frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 2 }⇔\frac { 1 } { 2 }\left ( { MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } -AB ^ { 2 } } \right )+\frac { 1 } { 2 }\left ( { MA ^ { 2 } +MC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } } \right )=25 $ $ ⇔2MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =50+50⇔2MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =100 $ Gọi $ D $ là điểm thỏa mãn $ 2\overset\rightarrow { DA }+\overset\rightarrow { DB }+\overset\rightarrow { DC }=\overset\rightarrow { 0 }⇒2\overset\rightarrow { DA }+2\overset\rightarrow { DI }=\overset\rightarrow { 0 }⇒\overset\rightarrow { DA }+\overset\rightarrow { DI }=\overset\rightarrow { 0 } $. $ ⇒ $ $ D $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AI $. Ta có $ 2MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =4MD ^ { 2 } +2DA ^ { 2 } +DB ^ { 2 } +DC ^ { 2 } $. Và $ DA=\frac { 1 } { 2 }AI=\frac { 1 } { 4 }BC=\frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 4 } $, $ DB=DC=\sqrt[] { IB ^ { 2 } +ID ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 125 } { 8 } } $. Suy ra $ 2MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =4MD ^ { 2 } +2DA ^ { 2 } +DB ^ { 2 } +DC ^ { 2 } =4MD ^ { 2 } +2.\left ( { \frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +2.\left ( { \sqrt[] { \frac { 125 } { 8 } } } \right ) ^ { 2 } =4MD ^ { 2 } +\frac { 75 } { 2 } $ Ta có kết quả: $ 4MD ^ { 2 } +\frac { 75 } { 2 }=100⇒MD ^ { 2 } =\frac { 125 } { 8 } $. Như vậy $ (S) $ là đường tròn tâm $ D $ bán kính $ R=\frac { 5\sqrt[] { 10 } } { 4 } $. Vậy $ a=5;\ b=4⇒T=50.5+4.4=266 $.