Trắc nghiệm · Câu 31
Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB} = -\frac{a^2}{6}$
Lời giải
Trong tam giác đều cạnh $a$, độ dài đường trung tuyến là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do $G$ là trọng tâm nên:
$GA = GB = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Góc giữa hai vectơ trọng tâm là $\left(\overrightarrow{GA}, \overrightarrow{GB}\right) = 120^\circ$.
Do đó: $\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GB} = |\overrightarrow{GA}| \cdot |\overrightarrow{GB}| \cdot \cos 120^\circ = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{6}$.