Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài các cạnh bằng 6. Lấy điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$.

Vì tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng 6 và $MB = 2MC$ nên $BM = 4$. Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABM$, ta có: $MA^2 = BA^2 + BM^2 - 2BA \cdot BM \cdot \cos 60^\circ = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 28$. Mặt khác, từ hệ thức lượng trong tam giác $ABM$, tích vô hướng của hai vectơ được tính theo công thức: $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\left(MA^2 + MB^2 - AB^2\right) = \frac{1}{2}\left(28 + 4^2 - 6^2\right) = 4$.