Trắc nghiệm · Câu 29
Cho hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, góc $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}$ bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$-\frac{3}{2}a^2$
Lời giải
Ta có: $\widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Áp dụng định lý côsin cho tam giác $BAD$, ta có:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cdot \cos\widehat{BAD} = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \cos 120^\circ = 3a^2 \implies BD = a\sqrt{3}$.
Biến đổi biểu thức vectơ: $\overrightarrow{AB} \cdot \left(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}\right) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}$
$= -BA \cdot BD \cdot \cos\left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD}\right) = -a \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = -a^2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}a^2$.