Trắc nghiệm · Câu 28
Cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy là $AB$ và $CD$. Biết $\widehat{CDA} = 60^\circ$, $CD = 2AB = 2a$. Khi đó $\overrightarrow{DC} \cdot \left(2\overrightarrow{DA} - 3\overrightarrow{AB}\right)$ bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$-4a^2$
Lời giải
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B$ lên cạnh $CD$. Ta có:
- $HK = AB = a$.
- $HD = KC = \frac{CD - HK}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.
- Tam giác $AHD$ vuông tại $H$ suy ra $\cos 60^\circ = \frac{DH}{AD} \implies \frac{1}{2} = \frac{a}{2} : AD \implies AD = a$.
Ta có: $\overrightarrow{DC} \cdot \left(2\overrightarrow{DA} - 3\overrightarrow{AB}\right) = 2\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} - 3\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB}$
$= 2 \cdot DC \cdot DA \cdot \cos\left(\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DA}\right) - 3 \cdot DC \cdot AB \cdot \cos\left(\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{AB}\right)$
$= 2 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ - 3 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 0^\circ$
$= 4a^2 \cdot \frac{1}{2} - 6a^2 \cdot 1 = -4a^2$.