Trắc nghiệm · Câu 40
Cho tam giác đều $ABC$ có trọng tâm $G$ và độ dài cạnh bằng $a$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GA}$.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$-\frac{a^2}{2}$.
Lời giải
Chọn D.
Do tam giác $ABC$ đều có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Khi đó $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} = -AB \cdot AG \cdot \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AG}\right) = -a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 30^\circ = -\frac{a^2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{a^2}{2}$.