Cho tam giác đều $ ABC $ có độ dài cạnh bằng $ a $. Trên cạnh $ BC $, $ CA $, $ AB $ lần lượt lấy các điểm $ N $, $ M $, $ P $ sao cho $ BN=\frac { a } { 3 } $; $ CM=\frac { 2a } { 3 } $; $ AP=x $ ($ 0 < x < a $). Tìm được giá trị của $ x=K.a,\,(K∈\mathbb{R}) $ để đường thẳng $ AN $ vuông góc với đường thẳng $ PM $. Khi đó $ K=? $

Ta có: $ \overset\rightarrow { AN }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BN }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }(\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB })=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } $ Ta lại có: $ \overset\rightarrow { PM }=\overset\rightarrow { PA }+\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { x } { a }\overset\rightarrow { AB } $ Do đó: $ AN⊥PM⇔\overset\rightarrow { AN }⋅\overset\rightarrow { PM }=0 ⇔\left ( { \frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } } \right )⋅\left ( { \frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { x } { a }\overset\rightarrow { AB } } \right )=0 $ $ ⇔\frac { 2 } { 9 }\overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { AC }-\frac { 2x } { 3a }\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } -\frac { x } { 3a }\overset\rightarrow { AB }⋅\overset\rightarrow { AC }+\frac { 1 } { 9 }\overset\rightarrow { AC } ^ { 2 } =0 ⇔\frac { 5x } { 6a }=\frac { 2 } { 9 }⇔x=\frac { 4a } { 15 } $ Vậy khi $ x=\frac { 4a } { 5 } $ thì đường thẳng $ AN $ vuông góc với đường thẳng $ PM $.