Cho tam giác $ ABC $ đều cạnh bằng $ 3 $. Lấy các điểm $ M $, $ N $ lần lượt trên các cạnh $ BC, CA $ sao cho $ BM=CN=2 $. Trên cạnh $ AB $ lấy điểm $ P $ sao cho $ AM $ vuông góc với $ PN $. Tính độ dài $ AP $.

Đặt $ \overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { a };\,\overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { b };AP=x\,\,\left ( { 0 < x < 3 } \right ) $ Ta có: $ \overset\rightarrow { AM }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BM }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } } \right )=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { a }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { b }\,. $ Ta có: $ \overset\rightarrow { PN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AP }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { x } { 3 }\overset\rightarrow { AB }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { b }-\frac { x } { 3 }\overset\rightarrow { a } $. Điều kiện $ AM⊥PN ⇔ \overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { PN }=0⇔\left ( { \frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { a }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { b } } \right )\left ( { \frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { b }-\frac { x } { 3 }\overset\rightarrow { a } } \right )=0 $ $ ⇔\left ( { \frac { 2 } { 9 }-\frac { x } { 9 } } \right )\overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }-\frac { 2x } { 9 }\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } +\frac { 1 } { 9 }.\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } =0 $ $ ⇔\left ( { \frac { 2 } { 9 }-\frac { x } { 9 } } \right ).3.3.cos60 ^ { \circ } -\frac { 2x } { 9 }.3 ^ { 2 } +\frac { 1 } { 9 }.3 ^ { 2 } =0 $ $ ⇔\left ( { \frac { 2 } { 9 }-\frac { x } { 9 } } \right ).\frac { 1 } { 2 }-\frac { 2x } { 9 }+\frac { 1 } { 9 }=0⇔\frac { 1 } { 9 }-\frac { x } { 18 }-\frac { 2x } { 9 }+\frac { 1 } { 9 }=0⇔\frac { 2 } { 9 }-\frac { 5x } { 18 }=0⇔x=\frac { 4 } { 5 } $(thỏa mãn). Vậy $ AP=\frac { 4 } { 5 }=0,8 $.